Concentration and multiplicity of solutions for a non-linear Schrödinger equation with critical frequency: infinite case
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Universidad de Investigación de Tecnología Experimental Yachay
Abstract
En este trabajo demostramos la existencia, multiplicidad, concentración y decaimiento de soluciones del problema relacionado a la ecuación no-lineal de Schrödinger.
Usamos un esquema de Ljusternik-Schnirelman y las propiedades del género de Krasnoselskii para demostrar la existencia de un número infinito de soluciones vk,ε, wk de (Pε) y (P), respectivamente. También presentamos resultados de concentración referentes a la solución de (Pε). Dado un escalamiento, demostramos la subconvergencia de vk,ε a una solución de (P) y el decaimiento exponencial de soluciones por fuera de Ω. Nuestros resultados son congruentes con los obtenidos por Byeon & Wang (2002), Felmer & Mayorga (2007) y Mayorga, Medina & Muñoz (2020) en cada uno de sus respectivos estudios referentes a los problemas con Frecuencia Crítica.
Description
In this work we prove existence, multiplicity, concentration phenomena and decay of solutions for the nonlinear Schrödinger equation.
Using the properties of the Krasnoselskii genus and by a Ljusternik-Schnirelman scheme we prove the existence of an infinite number of solutions vk,ε, wk for (Pε) and (P) while presenting concentration results about the solutions of (Pε). We prove the subconvergence, up to scaling of vk,ε to a solution of (P) and exponential decay of solutions away from Ω. Our results are congruent with the ones obtained by Byeon & Wang (2002), Felmer & Mayorga (2007) and Mayorga, Medina & Muñoz (2020) in each of their respective studies of the Critical Frequency cases.