A bijection between the triangulation of the associahedron and the parking functions

Abstract

A finales de la década de 1950, Sugawara abordó con éxito el problema de caracterizar espacios homotópicamente equivalentes a un espacio de lazos. Estableció un principio de reconocimiento basado en invariantes homotópicos. Más tarde, en 1961, J. Stasheff introdujo el associahedron como una herramienta para simplificar el principio de reconocimiento de Sugawara. En 2007, J.-L. Loday describió una triangulación del associahedron de dimensión n utilizando \( (n + 1)^{n-1} \) símplices. Loday señaló que esta triangulación está en biyección con el número de funciones de estacionamiento, una función de estacionamiento es una secuencia \((a_1, \ldots, a_n)\) de enteros que, al ordenarse como \( (b_1 \leq \ldots \leq b_n) \), satisface \( b_i \leq i \) para todo \(1 \leq i \leq n \). Loday no proporcionó una función biyectiva entre los dos conjuntos. En este trabajo, describimos en detalle la biyección entre la triangulación y las funciones de estacionamiento propuestas por J.-L. Loday, basada en el trabajo de P. Rosero, que construyó una biyección entre cadenas máximas de particiones no cruzadas con cadenas de particiones anidadas que inducen la triangulación deseada. Para lograr esto, pensamos en triangular el permutahedron \( P^{n} \) aprovechando su estructura de sistema de Coxeter, y la triangulación del associahedron se obtiene colapsando símplices específicos en la triangulación de \( P^{n} \). Nuestro objetivo es presentar una formulación más precisa del método desarrollado por P. Rosero para el desarrollo de la triangulación.