Homotopy theory for finite categories

Abstract

Reformulamos la teoría de homotopía introducida por Rosero en el contexto de categorías finitas. Esta teoría tiene como objetivo asociar un grupo a una categoría finita por medio de un funtor CatFin* → Grp de tal manera que exhiba la mayoría de las propiedades de π₁ : Top∗ → Grp, el funtor inducido por el grupo fundamental de un espacio topológico. A pesar de que esto se puede lograr usando el espacio clasificador de una categoría pequeña, tal método es inherentemente topológico. En contraste, nuestra teoría se desarrolla netamente en un contexto algebraico. Además de esto, hemos replanteado los fundamentos de la versión original de la teoría para mayor claridad y rigurosidad. Específicamente, presentamos notación consistente, resultados revisados, demostraciones originales, y generalizamos algunos de los resultados más importantes de la teoría. También presentamos resultados nuevos que aportan a la teoría una estructura más sólida. Finalmente, demostramos que nuestra teoría produce resultados consistentes en cuanto a la realización geométrica de las categorías S¹ y T², cuyos grupos fundamentales categóricos son isomorfos a Z y Z², respectivamente.