State and parameter estimation in stochastic dynamical system

Abstract

El análisis y la estimación en sistemas dinámicos estocásticos permiten estimar estados y parámetros desconocidos a través de observaciones imperfectas. Estos sistemas dinámicos estocásticos surgen en una amplia variedad de aplicaciones, por ejemplo, en el seguimiento de objetos en movimiento y el análisis de series de tiempo financiera. En muchos casos, los modelos matemáticos que describen estos sistemas dinámicos de la vida real son nolineales e involucran varios parámetros. Además, la información obtenida de estos sistemas dinámicos estocásticos suelen tener errores tanto en la ecuación de estados como en la ecuación de observaciones. Por lo tanto, es difícil obtener estimaciones óptimas de tanto estados como parámetros a partir de las observaciones imperfectas. En esta tesis se propuso una metodología basada en el paradigma bayesiano que implementa filtros recursivos en sistemas dinámicos que son expresados con ecuaciones diferenciales estocásticas. Estos filtros recursivos permiten obtener estimaciones de los estados y parámetros ocultos a partir de las observaciones imperfectas en un número finito de iteraciones. Para ilustrar el desempeño de estos filtros bayesianos en sistemas dinámicos estocásticos modelados por ecuaciones diferenciales estocásticas, propusimos los siguientes filtros tipo Kalman: el filtro de Kalman sin esencia y el filtro de Kalman Gauss-Hermite. Como parte del análisis de desempeño de los mencionados filtros tipos Kalman, nosotros consideramos dos filtros clásicos de la literatura como son el filtro de Kalman extendido y el filtro de partículas con remuestreo basado en el método de Monte Carlo. En este análisis, se consideraron algunas medidas de bondad de ajuste como son el MAE, el MAPE y el RMSE para tener una medida cuantitativa que permita comparar los diferentes filtros propuestos, además se consideró el tiempo de ejecución de cada filtro. Para ilustrar la metodología se usaron los siguientes modelos de tasas de interés: modelo Vasicek y modelo CIR cuyos estados son observados por la curva de tasa instantánea, además consideramos un modelo no lineal y discreto de seguimiento de aeronave para el control de tráfico aéreo conocido como modelo ATC y un modelo de observaciones no lineal y discreto para las observaciones. A partir de los resultados obtenidos de la estimación de estados y parámetros se pudo concluir que los filtros tipo Kalman tienen un mejor desempeño al tener errores bajos usando las diferentes medidas de ajuste de bondad, y además tiempos de ejecución menores que el filtro de partículas. Con respecto a los filtros tipo de Kalman se pudo observar que el filtro de Kalman sin esencia es más eficiente que los otros dos filtros tipo Kalman debido a que se obtuvieron mejores aproximaciones de los estados y parámetros verdaderos y un menor tiempo computacional.