Complete systems of solutions for the stationary Schrödinger equation in the plane

Abstract

Consideremos la ecuación estacionaria de Schrödinger ∆Φ(x,y)-q(x)Φ(x,y)=0, (x,y)∈Ω⊆R^2 (2) donde ∆≔∂^2/(∂x^2 )+∂^2/(∂y^2 ), Ω es un dominio simplemente conexo y q(x) es una función continua dependiendo solamente de la variable x. En este trabajo estudiamos un método que permite la construcción explícita de un sistema completo de soluciones {Φ_m }_(m=0)^∞ de (2), en términos de una solución particular invertible f (es decir, sin ceros) de la ecuación diferencial ordinaria f^'' (x)-q(x)f(x)=0. En términos prácticos, el sistema {Φ_m }_(m=0)^∞ se puede obtener directamente de f mediante un simple algoritmo basado en relaciones integrales recursivas. Las principales herramientas empleadas en esta construcción son la teoría de los operadores de transmutación y la representación SPPS para las soluciones de la ecuación de Sturm-Liouville.