Existence of a solution for a m-biharmonic Kirchhoff type equation

Abstract

En esta tesis, se demuestra la existencia de una solución de mínima energía para la siguiente ecuación m-biarmónica tipo Kirchhoff.

\begin{equation} \label{maineq} (P_\lambda)\left\{\begin{array}{l} \displaystyle \Delta_{m}^{2} u(x)-\left[ a \left( \int_{\Omega}\mid\nabla u(x)\mid^{m} d x \right)^{m-1}+b\right] \Delta_{m} u(x)+ c\mid u(x)\mid^{m-2}u(x) \\ =f(x)\mid u(x)\mid^{-\gamma}-\lambda\mid u(x)\mid^{p-2} u(x), \\ \Delta u(x)=u(x)=0, \end{array}\right. \end{equation} donde $\Omega \subseteq \mathbb{R}^{N}$ es un dominio acotado suave, $N \geq 3, ~ \gamma \in] 0,1[, ~ a, b, c \in] 0,+\infty[, $\\$\lambda \in] 0,+\infty[, \quad f \in L^{q}(\Omega),\quad f(x) \geq 0, \text{ para casi todo } x \in \Omega,\quad p \in] 0, m^{* *}[,\quad q=\dfrac{m^{**}}{m^{**}+\gamma-1},$\\ $m^{**}=\left\{\begin{array}{lll} \dfrac{m N}{N-2 m}, & \text { lf } 1<m<\frac{N}{2}; \\ +\infty, & \text { if } m \geq\frac{N}{2}. \end{array}\right.$\\

Aquí $m^{** }$ es el exponente crítico de Sobolev para la sumergimiento $$W^{2, m}(\Omega) \subseteq L^{m^{**}}(\Omega). $$

Tahri y Yasid (2021) usaron métodos variacionales para probar la existencia de una única solución de un problema biarmónico singular de tipo Kirchhoff involucrando el exponente crítico de Sobolev, $$\Delta^2 u - (a\int_\Omega |\nabla u|^2 dx + b) \Delta u + cu = f(x) |u|^{-\gamma} - \lambda |u|^{p-2} u,$$ trabajando en un dominio acotado suave $\Omega \subseteq R^N$ con condiciones de Dirichlet en la frontera y algunas condiciones adecuadas para los datos. Nosotros extendemos sus resultados siempre y cuando el operador biarmónico sea reemplazado por el operador $m$-biarmónico, $$\Delta_m^2 u = \Delta (|\Delta u|^{m-2} \Delta u).$$ Esto implica un adecuado uso y aplicación de herramientas avanzadas de Análisis No Lineal.