Numerical monoids, numerical operads and applications to combinatorics.

Abstract

En este trabajo consideramos monoides cancelativos (c-monoides), en la construcción de conjuntos parcialmente ordenados. En particular, aplicamos esta construcción general a los submonoides de N. Asociado a un conjunto parcialmente ordenado localmente finito se estudia clásicamente lo que se denomina el álgebra de incidencia. Toda álgebra de incidencia posee dos elementos especiales e invariantes bajo isomorfismo de conjuntos parcialmente ordenados, la funcion zeta y su inversa, la función de Möbius. Presentamos y probamos resultados usando argumentos combinatorios, funciones generatrices y la función de Möbius asociada a conjuntos parcialmente ordenados. Recientemente, se introdujeron los +1- monoides para el estudio de particiones ordenadas. Usando las propiedades de los +1-monoides construimos una nueva familia de conjuntos parcialmente ordenados. La función generatriz de Möbius de cada uno de estos conjuntos es la inversa (respecto a la composición de series formales) de la función generatriz de su función zeta. Estos resultados nos permiten obtener una nueva derivación para los números de FussCatalán con signos alternantes. Extendemos dicha construcción a c-monoides que surgen del producto ordinal de L especies y a c-operads, los cuales son también monoides, pero asociados a la sustitución ordinal de L especies. Finalmente, probamos que la restricción de un operad a los conjuntos con cardinal en un +1-monoide es también un operad, es decir que la ley de composición del operad restringida al +1-monoide está bien definida.