Functional estimation of probabilistic solutions in ordinary differential equations models

Abstract

Las aproximaciones probabilísticas basadas en el modelado de derivadas son técnicas ampliamente utilizadas para la estimación de soluciones de sistemas de ecuaciones diferenciales cuya solución numérica tiene una complejidad computacional intratable o en la que la presencia de errores o perturbaciones infinitesimales puede provocar divergencias. La cuantificación de la incertidumbre que se produce al estimar la solución en una malla temporal finita es un problema abierto y ha sido abordado desde diversos enfoques. En este trabajo se aborda la estimación de la incertidumbre de las soluciones de modelos ecuaciones diferenciales ordinarias mediante procesos Gaussianos en espacios de funciones Lipschitzianas, implementando un algoritmo que permite estimar los estados de la solución x(t) y sus derivadas de forma secuencial. Además, se propone la adición de expansiones de caos polinomial (PCE) utilizando las distribuciones resultantes del algoritmo para mejorar la precisión de su predicción. Para ilustrar la metodología, se probaron los algoritmos en tres sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias conocidos y se cuantificó su eficacia a través de tres medidas de rendimiento, obteniendo como resultado una mejora global de la precisión al añadir la expansión de caos polinomial.