On the inverse problem for Euler-Poincaré equations

Abstract

En este trabajo de titulación se estudian los problemas directos e inversos de las ecuaciones de Euler-Lagrange, ecuaciones discretas de Euler-Lagrange, ecuaciones de Euler-Poincaré y las ecuaciones discretas de Euler-Poincaré. Primero, se estudia el problema inverso de las muy conocidas ecuaciones de Euler-Lagrange, el cual se puede estudiar de diferentes formas. Una de ellas, es la llamada nueva formulación geométrica. Esta formulación dice que una Ecuación Diferencial de Segundo Orden, SODE (por sus siglas en inglés), de una variedad continua, es variacional (i.e., tiene solución) si y solo si existe un difeomorfismo local. Además, al componer la SODE con el tangente de este difeomorfismo y con el isomorfismo de Tulczyjew, la imagen de esta composición de funciones debe ser una subvariedad Lagrangiana de la variedad cotangente del tangente de la variedad. Los objetivos principales de este trabajo son encontrar una versión discreta de este diagrama y condiciones (si es posible) para que una ecuación diferencial de segundo orden en el tangente de una variedad discreta tenga solución.