Existence of solutions for some p-Poisson equations by nonlinear versions of the Lax-Milgram theorem

Abstract

Consideremos la ecuación cuasi-lineal de Poisson: \begin{equation} -\Delta_p \phi=K(x)|u|^\alpha, \quad x\in\mathbb{R}^N, \label{ppoi} \end{equation} donde $$ -\Delta_p \phi=\operatorname{div}(|\nabla\phi|^{p-2}\nabla\phi)$$ y $\alpha>0$. Asumimos que $K\in L^p(\mathbb{{R}^N})$ es no negativa, $N\in\mathbb{N}$ y $p\in]1,N[$. Probamos que para cada $u\in E^p,$ existe un único $\phi \in D^{1,p}(\mathbb{{R}^N})$ solución débil de \eqref{ppoi}. Para esto, consideramos sobre $D^{1,p}(\mathbb{{R}^N})$ los funcionales $J$ y $b$, dados por $$J(\phi)=\frac{1}{p} \int_{\mathbb{R}^N}|\nabla \phi|^p d x \quad \text { y } \quad\langle b, h\rangle=\int_{\mathbb{R}^N} K(x)|u|^\alpha h d x.$$ Cuando $p=2$ y $N=3$, el resultado es consecuencia del teorema de Lax-Milgram. Sin embargo, nosotros consideramos el caso general de la ecuación \eqref{ppoi}, $p>1$. Para probar el resultado usamos una versión generalizada del teorema de Lax-Milgram, el teorema de Minty-Browder. Para esto, probamos que $b\in(D^{1,p}(\mathbb{{R}^N}))^{'}$ y que $J$ es de clase $C^1$. Ademas, probamos que $J'$ es estrictamente positivo y coercivo. Finalmente, concluimos la existencia y unicidad de $\phi\in E^P$ tal que $J' \phi =b,$ i.e., $$\forall h\in E^p: \int_{\mathbb{R}^N} |\nabla\phi|^{p-2}\nabla\phi\nabla h dx = \int_{\mathbb{R}^N} K(x)|u|^\alpha h dx.$$